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Le présent fascicule de la collection Nano est une introduction à l'application des méthodes de l'analyse réelle à l'étude de la répartition des nombres premiers. Le texte a pour fil conducteur l'énoncé emblématique de la théorie analytique des nombres : le théorème des nombres premiers, qui affirme que le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est asymptotiquement équivalent à x/ln(x), quand x tend vers l'infini.
Autrement dit, l'écart moyen entre les N premiers nombres premiers est de l'ordre de 1n(N). Cet énoncé et des progrès vers sa démonstration furent l'oeuvre de Legendre, Gauss, Lejeune Dirichlet et Tchebychev. Ce sont Hadamard et la Vallée Poussin (1896), qui donnèrent finalement, et de façon indépendante, une démonstration complète, mettant à profit les idées géniales de Riemann sur l'application de la théorie des fonctions d'une variable complexe à l'étude des nombres premiers, en rapport notamment avec ce que la postérité appela la fonction zêta de Riemann.
Ces idées étaient si originales, et le résultat si brillant, que peu nombreux furent ceux qui se décidèrent à chercher une autre voie, élémentaire, vers la démonstration. Celle-ci ne fut finalement trouvée que plus d'un demi-siècle plus tard, par Erdös et Selberg (1949). Leurs idées renouvelèrent profondément ce domaine de recherches, et l'ambition de Michel Balazard a été en rédigeant ce livre de les présenter comme partie essentielle de la théorie générale des fonctions arithmétiques.
Le texte, qui ne manque pas de poésie, parut d'abord en russe comme la version développée d'une série de quatre cours donnés en 2009 à l'école d'été "Mathématiques Contemporaines" de Dubna (au nord de Moscou) et destinés aux élèves des lycées et universités. Le contenu a été également l'objet de deux exposés dans le cadre du séminaire pour étudiants "Mathematic Park", à Paris, en 2010. La présente version est plus approfondie, mais reste certainement accessible à partir des connaissances acquises dans les deux premières années d'université.
Les soixante-cinq exercices permettent, avec leurs solutions, d'assimiler activement les notions et techniques introduites.