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Ce livre s'adresse à des étudiants de niveaux très variés, ou à des enseignants. Il commence très lentement, définissant les notions les plus élémentaires de topologie générale, dans des espaces métriques avec divers exemples ; il peut être utilisé par des étudiants de début de deuxième cycle, dans des cours de topologie générale.
Les principaux chapitres, à ce niveau, sont l'étude des fonctions continues, des espaces compacts, des espaces connexes, des espaces métriques complets.
On passe de là aux espaces fonctionnels élémentaires, aux espaces de Banach et aux applications linéaires continues, aux séries. À partir du chapitre XVII, commence l'analyse fonctionnelle, avec l'étude des espaces vectoriels topologiques. Ce n'est pas un livre d'analyse fonctionnelle, et il est insuffisant pour ceux qui voudrait travailler dans cette branche de l'analyse ; mais les théorèmes de Hann-Banach, d'Ascoli, de Baire, et leurs conséquences, sont traités, permettant au lecteur d'utiliser de façon systématique tous les outils qui précèdent.
Ces chapitres dépassent nettement le niveau au début, mais peuvent être traités partiellement dans des cours de deuxième cycle. Il en est de même du chapitre XXII sur les espaces normaux, paracompacts, complètement réguliers. Le dernier chapitre sur les espaces hilbertiens, contient les propriétés essentielles de ces espaces n'utilisant pas Lebesgue.