Les théorèmes d'incomplétude de Gödel

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Maurice Margenstern et Raymond-M Smullyan - Les théorèmes d'incomplétude de Gödel.
La logique mathématique est actuellement un domaine d'une grande richesse, qui donne lieu, depuis une soixantaine d'années, à des découvertes théoriques... Lire la suite
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Résumé

La logique mathématique est actuellement un domaine d'une grande richesse, qui donne lieu, depuis une soixantaine d'années, à des découvertes théoriques majeures. L'explosion de l'informatique, avec des applications et des intuitions nouvelles, lui a fourni une impulsion décisive. La collection Axiomes se propose d'accueillir des ouvrages de logiciens, depuis le manuel pour l'enseignement jusqu'à l'exposé des recherches les plus récentes. Son but est de couvrir le large spectre de la logique aujourd'hui : théorie des modèles, théorie des ensembles, récursivité, complexité, lambda-calcul et théorie de la démonstration, logiques non classiques... ainsi que son vaste champ d'applications en mathématiques et en informatique. L'importance des théorèmes d'incomplétude de Gödel est peu à peu perçue par le public, après avoir ébranlé la conception que les mathématiciens et les logiciens eux-mêmes avaient de leur propre discipline. Ces théorèmes prouvent, en effet, qu'un système d'axiomes cohérent et suffisamment expressif est susceptible de générer des énoncés dont la validité ne peut être démontrée dans le cadre des règles mêmes qui gouvernent la formulation de ces énoncés et leurs déductions. Cependant, la démonstration de ces théorèmes demeure méconnue, hormis par les spécialistes logiciens. Raymond Smullyan relève dans cet ouvrage une gageure a priori impossible : exposer en termes simples et limpides des démonstrations techniquement complexes, sans rien sacrifier à la rigueur mathématique. En effet, malgré l'aridité de la technique originelle de Gödel, les idées force qui ont conduit à ces démonstrations sont relativement accessibles. L'auteur présente ici une synthèse particulièrement brillante de cinquante années de recherche sur les diverses approches de ces théorèmes. La dernière partie de l'ouvrage, en particulier, analyse les conséquences de ces résultats sur les récents développements de la logique modale. Ce livre séduira le spécialiste, qu'il soit mathématicien, logicien, informaticien, cogniticien ou philosophe. Il intéressera également tous les lecteurs désireux de saisir en profondeur les moments clés d'une démarche scientifique du plus haut intérêt.

Sommaire

    • L'idée force de la démonstration de Gödel
    • Le théorème de Tarski pour l'arithmétique
    • L'incomplétude de l'arithmétique de Peano avec exponentielle
    • L'arithmétique sans exponentielle
    • La démonstration de Gödel fondée sur la cohérence
    • Les systèmes de Rosser
    • Les théorèmes de représentation de Shepherdson
    • Définissabilité et diagonalisation
    • L'indécidabilité de la cohérence
    • Quelques remarques générales sur la prouvabilité et la vérité
    • Systèmes avec auto-référence.

Caractéristiques

  • Date de parution
    01/05/1993
  • Editeur
  • Collection
  • ISBN
    2-225-84195-0
  • EAN
    9782225841958
  • Présentation
    Broché
  • Nb. de pages
    134 pages
  • Poids
    0.28 Kg
  • Dimensions
    15,7 cm × 24,0 cm × 0,9 cm

Avis libraires et clients

À propos des auteurs

Raymond Smullyan est professeur à l'université d'Indiana. Ses travaux ont porté sur la logique du premier ordre, la récursivité et les théorèmes d'incomplétude de Gôdel. Maurice Margenstern, traducteur de l'ouvrage, est maître de conférences à l'université de Paris-Sud.

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